1. Pengertian Peluang
Dasar logika proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisa data sampel adalah peluang. Peluang adalah bilangan yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Peluang mempunyai nilai antara 0 dan 1. Peluang berhubungan dengan percobaan yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti.
2. Ruang sampel dan kejadian ( peristiwa )
Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian, event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel
♣ Peristiwa sederhana: hanya memuat 1 elemen saja
♣ Peristiwa bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana
♣ Jika hasil suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.
Percobaan adalah suatu tindakan atau proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan kepastiannya.
Notasi :
♣ Ruang sampel ditulis dengan notasi S
♣ Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.
♣ Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2, a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)
♣ Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}
♣ Jika peristiwa A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}
Contoh 1
Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali
Hasil: tampak H (head) atau T (tail)
Ruang sampel S = {H, T}
Peristiwa: A = {H, T}
Contoh 2
Percobaan: Pelemparan 2 buah koin (H dan T) sekaligus
Hasil: HH (H&H), TT (T&T), atau HT (H&T)
Ruang sampel: S = {HH, HT, TT}
Peristiwa: 1. Keduanya sama, A = {HH, TT}
2. Keduanya berbeda B = {HT}
Contoh 3
Percobaan: pelemparan 1 buah koin 2 kali berturutan
Hasil: HH (H kemudian H), HT (H kem T), TH (T kem H), atau TT.
Ruang sampel: S {HH, HT, TH, TT}
Peristiwa: 1. Berturutan sama, A = {HH, TT}
2. Berturutan beda, B = {HT, TH}
Anggota peristiwa A berbeda dengan anggota peristiwa B atau,
Peristiwa: 1. Muncul gambar yang sama, B = {HH, TT}
2. Paling sedikit muncul 1 H, A = {HH, HT, TH}
Anggota peristiwa A menjadi anggota peristiwa B, yaitu HH
Definisi-definisi
1. Experiment adalah proses observasi yang mengarah ke single outcome (hasil tunggal), yang tak dapat diperkirakan.
2. Data sampel (sampel point) adalah outcome yang paling mendasar dari suatu percobaan.
3. Ruang sampel (sample space) dari suatu percobaan adalah kumpulan / koleksi / himpunan dari semua data sampel yg mungkin dihasilkan. Semua data sampel ini merupakan anggota ruang sampel, yang peluangnya totalnya = 1.
4. Peristwa atau kejadian (event) adalah koleksi / himpunan data sampel yang spesific (mempunyai sifat khusus).
3. Peluang Suatu Kejadian
Aksioma peluang :
Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan tersebut disebut peluang.
a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian mustahil.
b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)
c. Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan 1, yaitu 0 £ P (A) £1
d. Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka P(AÈB) = P(A) + P (B)
Berdasarkan definisi di atas kita akan menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang sampel dengan anggota sebanyak n. selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka
p+ p+ p+…+ p =1
n suku
np = 1 Û p =
Misalnya pada [elemparan satu dadu berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah
P = =
Sifat : Nilai Peluang
Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah
P(A) = =
Contoh
Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M). kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.
Penyelesaian
Ruang sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola merah adalah A, maka n(A) = 3. Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) = .
4. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah peluang kejadian tersebut dikalikan banyak percobaan. Misalnya kita melakukan n kali percobaan dan A adalah kejadian dengan peluang p dengan (0 £ p£ 1). Frekuensi harapan dari kejadian A adalah p Î n. Jika E adalah suatu kejadian dalam ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya E dalam n kali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :
F(E) = P(E) Î n
Contoh
Sekeping uang logam dilempar 30 kali,maka frekuensi harapan muncul gambar adalah. . .
Penyelesaian
F(G) = Î 30 = 15 kali
5. Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan (union) dan opersi irisan.
6. Peluang dari Gabungan Kejadian
Misalnya A dan B adalah dua kejadian yang terdapat dalamruang sampel S,maka peluang kejadian A atau B adalah P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)
7. Peluang Gabungan Dua kejadian Saling Lepas
Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas ,maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P(AÈB) = P(A) + P(B).
8. Peluang Komplemen suatu kejadian
Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.
Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas. Dengan demikian berlaku hubungan
P(AÈA¢) = P(A) + P(A¢) (*)
Karena A¢ merupakan komplemen A , maka AÈA¢ = S atau n(AÈA¢) = n (S). Jadi,
P(AÈA¢) = = = 1 (**)
Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) akan menghasilkan
P(AÈA¢) = 1 = P(A) + P(A¢) Û P(A¢) = 1 – P(A)
Sehingga dapat dinyatakan bahwa
Apabila A dan A¢ merupakan dua buah kejadian yang saling komplemen, maka
peluang komplemen kejadian A, ditulis P(A¢), adalah P(A¢) = 1 – P(A)
9. Kejadian yang Saling Bebas
Misalkan dua buah bola akan diambil secara acak dari sebuah tas yang memuat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa peluang keduanya bola merah? Jika A kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan pertama dan B kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan kedua. Ruang sampel S di bawah ini akan disajikan dengan dua versi yaitu dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Persoalan yang akan dibahas adalah P(A dan B) atau P(A Ç B).
1. Bola pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil.
Ruang sampel S memuat 49 elemen (7 Î 7),
A dan B memuat 16 elemen (4 Î 4)
Maka :
P(A Ç B) = P(A) . P(B)
Hasil dari A Ç B terletak di daerah persegi pada gambar di atas.
2. Bola pertama tidak dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Pada pengambilan pertama kita dapat memilihi 1 dari 7 bola, tapi pada pengambilan kedua hanya ada 6 pilihan. Jadi, ruang sampel memuat 6 elemen. Kejadian A dan B memuat 4 Î 3 atau 12 elemen, sebab 4 bola merah dapat dipilih pada pengambilan pertama, dan hanya 3 pilihan bola merah pada pengambilan kedua,
Maka P(A Ç B) =
P(A Ç B) =
P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)
Peluang kejadian B dengan syarat A telah terjadi.
Contoh tersebut secara umum disebut peluang bersyarat
Untuk P(A) peluang kejadian A, P(B/A) peluang kejadian B dengan syarat A telah terjadi. Jika P(A Ç B) peluang terjadinya A dan B, maka P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)
Dua kejadian seperti tersebut dinamakan tidak saling bebas. Jika P(B/A) = P(B) maka akan diperoleh
P(A Ç B) = P(A) . P(B)
Dan dua kejadian tersebut dinamakan saling bebas.
